【宇宙ネタ】～お得な旅行計画のためには～

6月14日の記事において、ホーマン遷移と呼ばれる航法を紹介した。
「最も燃料を節約できる航法であり、最もお得」と解説した私でしたが、

肝心なことを忘れていた。燃料はお得でも”時間が”かかってしまう。

そもそも、あの解説図自体がかなり曖昧だった。
「地球から火星に到達するまで」の旅行プランについて、この際きちんと計算してみます。

到達時間の求め方

大雑把な航路図。（Rは火星の公転半径、ｒは地球の公転半径）

地球の公転方向に合わせて出発。まず楕円軌道に移行する。
楕円軌道の反対側（遠点）が、丁度、火星の公転半径に届くまで加速すればOK。

で、具体的な到着時間は「ケプラーの第三法則」より計算できる。

t：地球の公転周期
r：地球の公転軌道半径
R：火星の公転軌道半径
T：楕円軌道の公転周期（今回求めたい答え）

とすると以下の計算となり、Tが求まる。

到達まで、つまり片道の時間はTの半分になるので、約259日（8ヶ月半）かかることになります。

なお同じ理屈で火星の公転周期も分かる。686.40177947217日という結果。

Googleで検索したら、ほぼ同じ値が出た。よっしゃ。

で、地球から火星に到達するまで259日ということは、火星の公転周期の0.376841倍なので、角度に直すと135.6°。

これが地球出発時の、地球と火星の位置関係、ということも分かりました。
これで火星までの旅行計画はバッチリだ！

ちょっと違った。

https://www.businessinsider.jp/post-217567

BUSINESS INSIDER 2020年7月30日　NASAの火星探査車パーサヴィアランス、今夜打ち上げ。

最近、こっそりNASAが火星探査機を打ち上げてました。
記事に書かれているのは、「到達までおよそ７か月、2021年2月18日に到着予定」とのこと。

…あれ？８ヶ月半かかるはずでは？計算間違えたかな私（・ω・；）

考えられる理由としては２つ。

①地球と火星の公転は互いに微妙にズレてるので、もっと近づけるタイミングがある。
②準ホーマン遷移にて時間短縮している。

②について解説しよう。

準ホーマン遷移軌道

地球を出発する際にもっと早く加速することで、もっとデカい楕円軌道に移行するのだ。

しかしその分、燃料を多く消費することにはなるが…実は、心配するほどでもない。

本来必要な速度：v
付け足した速度：Δｖ
増えた運動エネルギー分の速度：V

運動エネルギーは速度の二乗に比例するので、初速が増えれば増えるほど加わるエネルギーが大きくなる。
軌道力学においては、目標に到達するまでの時間も短くなり、燃料の消費分、十分に元がとれるようです。

「宇宙旅行においては始めが肝心だ！とにかく出発時に全力で加速しろ！そっちの方がお得だから！」
これをオーベルト効果（Oberth effect）と言います。

で、具体的にどの程度時間を短縮できるのか？と計算しようとしたら、
楕円軌道を詳しく理解する必要に迫られたため、今日はここまで。